¿Qué pensó Ramanujan?

Por Sebastián Agulló.

Hablar sobre Matemáticas, a priori, se podría considerar condición suficiente (y/o necesaria) para detener la lectura en este mismo punto y pasar a otro tema “probablemente” más interesante. Quizá no exista un nexo directo entre Matemáticas y Cultura, aunque me permito dudarlo: las primeras fueron objeto de estudio en Oriente y la Grecia presocrática, como se puede deducir si se tienen en cuenta los trabajos de Tales de Mileto, personaje histórico a quien, por economía de lenguaje, tomaré como referente antes de rellenar este artículo con información que siempre puede ser ampliada por el lector interesado en ello.

Este nexo directo aparentemente no tan directo podría cumplimentarse, por decir algo, con posteriores trabajos de René Descartes o Gottfried Leibniz; los ejemplos son simples, se podrían tachar como “reduccionistas”, mas mi única intención con los mismos es denotar que las Matemáticas han estado presentes no sólo en la Filosofía (y a la inversa), sino también en el Arte, como pudiere ser la pintura o la música; ergo, Cultura. Pero no es éste el núcleo del artículo, sino más bien una serie de prolegómenos en aras de pasar a dicho núcleo con algo parecido a una justificación.

Hace unas semanas un compañero me preguntó acerca de cómo pudo el matemático Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan, un genio cuyos aportes en el campo de las Matemáticas no tienen parangón (su aplicación en la Física Teórica es otro asunto), resolver el siguiente sistema de ecuaciones, por así decirlo, “mentalmente”:

√x + y = 7
√y + x = 11

El genio nacido en India (cuya vida, biografía y contexto se pueden consultar en el enlace proporcionado) resolvió dicho sistema respondiendo x = 9, y = 4. Basta sustituir las incógnitas por estos valores para percatarse de que ambas igualdades se cumplen. Personalmente, desconozco cuál fue el método usado para dicha resolución puesto que me resulta literalmente imposible introducirme en el cerebro de otra persona, sobre todo si ésta falleció hace años.

Antes de pasar a lo que, con toda probabilidad, sólo sea una conjetura, me gustaría añadir una serie de datos que considero, si no “importantes”, sí “relevantes”. En el libro «Psicología de la invención en el campo matemático», escrito por Jacques Hadamard (1945) y reeditado por la Real Sociedad Matemática Española en el año 2011, se documentan casos de cómo célebres matemáticos lograban elucidar teoremas, resolverlos y/o demostrarlos de distintas maneras.

Por ejemplo, Henri Poincaré defendía que la intuición matemática no es patrimonio de todo ser humano, sino que ésta, junto a un trabajo constante, son los ingredientes necesarios para alcanzar las metas del matemático. En otros casos, como, por ejemplo, los que atañen a Bernhard Riemann, Pierre de Fermat o Évariste Galois, se habla de inspiración espontánea, o, en el más “extraño” de los casos, la formulación y resolución de teoremas acontecidos mientras dormían. Con más o menos rigor, no deja de ser curioso.

Casos más actuales, me limitaré a uno, sí han podido ser estudiados en profundidad con el aval científico. El ejemplo elegido es el de Daniel Tammet. Este joven británico, junto con otros personajes más o menos ilustres, es considerado, entre otras etiquetas, como calculadora humana. Sus méritos (verdaderos méritos) rebasan lo imaginable. De nuevo invito al lector interesado a profundizar en ellos. Sin embargo, estudios detallados de su cerebro arrojaron dos datos reveladores: Tammet padece Síndrome de Asperger y sinestesia; y, bien lejos de ser un impedimento respecto a su vida diaria, son gran parte de “la explicación” subyacente para con sus asombrosas capacidades casi sobrehumanas.

Volvamos a Ramanujan. También considerado, entre otras, calculadora humana -anécdotas para ese lector interesado-, ¿cómo llegó a resolver “mentalmente” el sistema propuesto en este artículo? Existe una resolución que se puede encontrar en este enlace. Dicha resolución consta de ocho pasos y los cálculos resultarán, para un profano, un verdadero galimatías. «Yo no estuve en el cerebro de Ramanujan», afirma quien teclea. Pero respecto a dicha resolución le he encontrado dos inconvenientes, a falta de más información histórica y/o contextual.

I. En primer lugar, desconozco si Ramanujan, al responder dos soluciones válidas*, tenía la menor idea sobre estructuras algebraicas. Con o sin esa idea o ideas, “quizá” pudo pensar que dos números cuya suma es un entero positivo necesariamente deben ser racionales. Ello implica que x e y deben poderse expresar como el producto de dos enteros positivos, y, al haber raíces cuadradas, estos enteros deben ser iguales.

I.A. Dejando a un lado la solución cuyo enlace se encuentra dos párrafos más arriba, teniendo en cuenta el párrafo anterior, bastan dos premisas lógicas para que un sencillo cálculo combinatorio (desde luego, mucho más sencillo que la solución adjunta) nos lleven a lo mismo. Sea la primera premisa que “los productos cuyo resultado son x e y son enteros positivos” y sea la segunda premisa que “dichos enteros positivos tienen una raíz cuadrada entera (positiva)”. La Combinatoria nos dice que sólo hay dos soluciones que cumplan la primera premisa, a saber, los pares {6,1} y {3,4}. Pero el primer par no satisface la segunda ecuación del sistema, ergo sólo queda el par {3,4} y la solución es x = 9 e y = 4.

II. En segundo lugar, entra en juego la formalización de las Matemáticas, un trabajo que tiene ya varios siglos de tradición necesaria, desde el mismo Leibniz, Gottlob Frege o Guiseppe Peano. Por “decir algo”. Y, dentro de este formalismo, el sistema resuelto por Ramanujan quién-sabe-cómo, si bien no es linealmente dependiente in termini, sí es dependiente y, en el cuerpo de los números reales no tiene solución*. Porque una raíz cuadrada no sólo arroja como solución el cuadrado, valga la redundancia, de dos números positivos: también contempla el cuadrado de dos números negativos; y, si en el sistema propuesto utilizamos el legítimo valor negativo, todo se viene abajo.

Como conclusión -sí: hay una conclusión-, repetir que yo no estuve allí, que no puedo adentrarme en el cerebro de otro ser humano -difunto-; empero, salvando el punto “II”, referente al formalismo en las Matemáticas, considerando el sistema no como un sistema en sí, sino como un mero acertijo para con el ingenio dadas unas “reglas del juego”, sobreentendidas si es necesario aceptar la inferencia, me decanto por la solución expuesta mediante métodos combinatorios (mas ha sido formulada por quien teclea, modestia aparte) antes de un farragoso cálculo que consta de ocho pasos y, como ya he dicho, no es formal al suprimir las raíces negativas.

¿Qué pensó Ramanujan? Mi aducción, pues no es más que eso, me sugiere, siguiendo la Navaja de Ockham, que, sin poner en duda cual profano o blasfemo el genio de este hombre, “quizá” el matemático indio halló un método más sencillo para dejar a la comunidad científica boquiabierta. Y, sin duda alguna, no por el núcleo de este texto.